1高 一 數 學 必 修 1 各 章 知 識 點 總 結第一章 集合與函數概念一、集合有關概念1. 集合的含義2. 集合的中元素的三個特性:(1)元素的確定性如:世界上最高的山(2)元素的互異性如:由 HAPPY 的字母組成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的無序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合3.集合的表示:{ … } 如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。? 注意:常用數集及其記法:非負整數集(即自然數集) 記作:N正整數集 N*或 N+ 整數集 Z 有理數集 Q 實數集 R1) 列舉法:{a,b,c……}2) 描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3) 語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4) Venn 圖:4、集合的分類:(1)有限集 含有有限個元素的集合(2)無限集 含有無限個元素的集合(3)空集 不含任何元素的集合 例:{x|x 2=-5}二、集合間的基本關系1.“包含”關系—子集注意: BA?有兩種可能(1)A 是 B 的一部分, (2)A 是空集,(3)A 與 B 是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,記作 A??B或 B??A2. “相等”關系:A=B (5≥5,且 5≤5,則 5=5)實例:設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”即:① 任何一個集合是它本身的子集。A?A②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就說集合 A 是集合 B 的真子集,記作 A B(或 B A)③如果 A?B, B?C ,那么 A?C④ 如果 A?B 同時 B?A 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為 Φ規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。? 有 n 個元素的集合,含有 2n個子集,2 n-1個真子集2三、集合的運算運算類型交 集 并 集 補 集定 義由所有屬于 A 且屬于 B 的元素所組成的集合,叫做 A,B的交集.記作AIB(讀作‘A 交B’) ,即AIB={x|x ?A,且 x B} .由所有屬于集合 A 或屬于集合 B 的元素所組成的集合,叫做A,B 的并集.記作:AUB(讀作‘A 并 B’) ,即 A B ={x|x?A,或 x B}).設 S 是一個集合,A是 S 的一個子集,由S 中所有不屬于 A 的元素組成的集合,叫做S 中子集 A 的補集(或余集)記作 CS,即CSA= },|{x?且韋恩圖示A B圖1A B圖2性 質AIA=A A Φ=ΦAIB=B AA B?AAIB BAUA=AA Φ=AA B=B AAUB?AA B B(CuA) I (CuB)= Cu (AUB)(CuA) (CuB)= Cu(AIB)AU (CuA)=UAI (CuA)= Φ.二、函數的有關概念1.函數的概念:設 A、B 是非空的數集,如果按照某個確定的對應關系 f,使對于集合 A 中的任意一個數 x,在集合 B 中都有唯一確定的數 f(x)和它對應,那么就稱 f:A→B 為從集合 A 到集合B 的一個函數.記作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自變量,x的取值范圍 A 叫做函數的定義域;與 x 的值相對應的 y 值叫做函數值,函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域.2.值域 : 先考慮其定義域SASA3(1)觀察法 (2)配方法(3)代換法3.區間的概念(1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間(2)無窮區間(3)區間的數軸表示.4.映射一般地,設 A、B 是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應法則 f,使對于集合 A 中的任意一個元素 x,在集合 B 中都有唯一確定的元素 y 與之對應,那么就稱對應 f:A ?B 為從集合 A 到集合 B 的一個映射。記作“f(對應關系):A(原象)?B(象) ”對于映射 f: A→ B 來說,則應滿足:(1)集合 A 中的每一個元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的;(2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中對應的象可以是同一個;(3)不要求集合 B 中的每一個元素在集合 A 中都有原象。5.分段函數 (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。(2)各部分的自變量的取值情況.(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.6.求定義域的方法:(1)分母不能為 0;(2)根指數為偶數時,被開方數非負;(3) ,yx??要 求(4)對數的真數大于 0,底數大于 0 且不為 1.二.函數的性質1.函數的單調性(局部性質)(1)增函數設函數 y=f(x)的定義域為 I,如果對于定義域 I 內的某個區間 D 內的任意兩個自變量 x1,x 2,當 x11,且 ∈ N*.? 負數沒有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,記作 0?。當 是奇數時, a?,當 是偶數時,???????)0(|an2.分數指數冪正數的分數指數冪的意義,規定: )1,,(*???nNmanm, ,01*??n? 0 的正分數指數冪等于 0,0 的負分數指數冪沒有意義53.實數指數冪的運算性質(1) ra· sr??),0(Ra??;(2)rsr)(,sr;(3)srb),0(a?.(二)指數函數及其性質1、指數函數的概念:一般地,函數 )1,0(???ayx且 叫做指數函數,其中 x 是自變量,函數的定義域為 R.注意:指數函數的底數的取值范圍,底數不能是負數、零和 1.2、指數函數的圖象和性質a>1 01 0